工科大物「热学」手册

计算常量

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温标转换：$T/K=t/^\circ C+273.15$

纯水三相点：$0.01^\circ C/273.16K$

普适气体常量：$R=8.31J/(mol\cdot K)$

玻耳兹曼常量：$k=\frac{R}{N_A}=1.38\times 10^{-23}J/K$

基础概念

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热运动：微观粒子的无规则运动。

热现象：大量粒子热运动的集体表现。例：布朗运动。

平衡态、非平衡态

定常态

准静态过程/平衡过程

（热力学）系统

内能是系统状态的单值函数。

循环过程、正循环、逆循环

热机、制冷机

可逆过程、不可逆过程

定理&公式

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理想气体的物态方程
$$
pV=\frac{m}{M}RT
$$
压强公式
$$
\begin{align}
p&=nm_0\bar{v_x^2}\
&=\frac{2}{3}n\bar{\varepsilon_k}\
&=nkT(物态方程)
\end{align}
$$
推论：
$$
\bar{\varepsilon_k}=\frac{3}{2}kT(平动)
$$
能量按自由度均分定理
$$
\bar{\varepsilon_k}=\frac{i}{2}kT(总)
$$
单原子分子$i=3$, 刚性双原子分子$i=5$, 刚性多原子分子$i=6$.

理想气体的内能
$$
E=\frac{m}{M}\frac{i}{2}RT
$$
分子速率分布函数
$$
f(v)=\frac{dN}{Ndv}
$$
必满足归一化条件
$$
\int\limits_0^{+\infty}{f(v)dv}=1
$$
麦克斯韦速率分布律
$$
f(v)=4\pi(\frac{m_0}{2\pi kT})^{\frac{3}{2}}e^{-\frac{m_0v^2}{2kT}}v^2
$$
推论：

• 平均速率
  $$
  \begin{align}
  \bar{v}
  &=\sqrt{\frac{8kT}{\pi m_0}}\
  &=\sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}\
  &=1.6\sqrt{\frac{RT}{M}}
  \end{align}
  $$

• 方均根速率
  $$
  \begin{align}
  v_{rms}
  &=\sqrt{\frac{3kT}{m_0}}\
  &=\sqrt{\frac{3RT}{M}}\
  &=1.73\sqrt{\frac{RT}{M}}
  \end{align}
  $$

• 最概然速率
  $$
  \begin{align}
  v_p
  &=\sqrt{\frac{2kT}{m_0}}\
  &=\sqrt{\frac{2RT}{M}}\
  &=1.41\sqrt{\frac{RT}{M}}
  \end{align}
  $$

平均碰撞频率、平均自由程
$$
\bar{Z}=\sqrt{2}\pi d^2\bar{v}n\
\bar{\lambda}=\frac{\bar{v}}{\bar{Z}}=\frac{1}{\sqrt{2}\pi d^2n}=\frac{kT}{\sqrt{2}\pi d^2p}
$$
热力学第零定律

自己背去。

热力学第一定律
$$
\delta Q=dE+\delta A
$$
热力学第二定律

自己背去。

等体过程

特征：
$$
dE=\delta Q
$$
公式：
$$
\begin{align}
dE
&=\delta Q\
&=\frac{m}{M}C_{V,m}dT\
C_{V,m}&=\frac{i}{2}R
\end{align}
$$
等压过程

特征：
$$
\Delta A=p\Delta V
$$
公式：
$$
\begin{align}
\delta Q_p&=\frac{m}{M}Q_{p,m}dT\
C_{p,m}&=R+C_{V,m}\
&=(1+\frac{i}{2})C_{V,m}
\end{align}
$$
[摩尔]热容比/绝热指数
$$
\gamma=\frac{C_{p,m}}{C_{V,M}}=1+\frac{2}{i}
$$
等温过程

特征：
$$
\delta Q=\delta A
$$
公式：
$$
\delta A=pdV=\frac{p_1V_1}{V}dV=-\frac{p_1V_1}{p}dp
$$
绝热过程

特征：
$$
\delta Q=dE+\delta A=0
$$
公式：
$$
\begin{align}
pV^\gamma&=C_1\
V^{\gamma-1}T&=C_2\
p^{\gamma-1}T^{-\gamma}&=C_3
\end{align}
$$
热机效率、制冷系数
$$
\eta=\frac{A}{Q_1}=\frac{Q_1-Q_2}{Q_2}\
u=\frac{Q_2}{A}=\frac{Q_2}{Q_1-Q_2}
$$
卡诺循环

$$
\frac{Q_1}{T_1}=\frac{Q_2}{T_2}\\
\eta=1-\frac{T_1}{T_2}
$$
卡诺定理

1. 一切可逆机，效率$\eta=1-\frac{T_1}{T_2}$
2. 一切不可逆机，效率$\eta\leq1-\frac{T_1}{T_2}$

熵
$$
\oint(\frac{\delta Q}{T})_{可逆}=0
$$

$$
dS=(\frac{\delta Q}{T})_{可逆}
$$

波尔兹曼关系
$$
S=klnW
$$

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2022.9.15

Doxel