工科大物「机械振动和电磁振荡」手册

谐振动

特征量

• 周期$T$，角/圆频率$\omega$，频率$\nu$
• $T=\frac{2\pi}{\omega}$, $\omega=2\pi\nu$

弹簧振子

• 回复力$F=-kx$

• $\omega^2=\frac{k}{m}$

$$
\begin{align}
&a=\frac{d^2x}{dt^2}=\frac{F}{m}=-\frac{k}{m}x=-\omega^2x\
&\Leftrightarrow\frac{d^2x}{dt^2}+\omega^2x=0\
&\Rightarrow x=Acos(\omega t+\phi_0)
\end{align}
$$

• 能量$E=E_k+E_p=\frac{1}{2}kA^2$

单摆

• 回复力$F=-mgsin\theta$
• $\omega^2=\frac{g}{l}$

$$
\begin{align}
&a=\frac{d^2\theta}{dt^2}=-\frac{g\theta}{l}=-\omega^2\theta\
&\Rightarrow \theta=\theta_mcos(\omega t+\phi_0)
\end{align}
$$

复摆/物理摆

• 回复力矩$M=-mghsin\theta$
• $\omega^2=\frac{mgh}{J}$

$$
\begin{align}
&a=\frac{d^2\theta}{dt^2}=-\frac{mgh\theta}{J}=-\omega^2\theta\
&\Rightarrow \theta=\theta_mcos(\omega t+\phi_0)
\end{align}
$$

阻尼振动/减幅振动

• 阻力$F=-\gamma v$
• $\delta=\frac{\gamma}{2m}$
• $\omega ‘=\sqrt{\omega_0^2-\delta^2}\space\space\space(\omega_0>\delta)$

$$
\begin{align}
&m\frac{d^2x}{dt^2}=-kx-\gamma \frac{dx}{dt}\
&\Rightarrow x=A_0e^{-\delta t}cos(\omega ‘ t+\phi_0’)
\end{align}
$$

• 临界阻尼最快平衡

受迫振动

• 驱动力$F=F_0cos\omega_dt$
• $A=\frac{F_0}{m\sqrt{(\omega_0^2-\omega_d^2)^2+4\delta^2\omega_d^2}}$
• $tan\phi=\frac{-2\delta\omega_d}{\omega_0^2-\omega_d^2}$

$$
\begin{align}
&m\frac{d^2x}{dt^2}=-kx-\gamma \frac{dx}{dt}+F_0cos\omega_dt\
&\Rightarrow x=A_0e^{-\delta t}cos(\omega ‘ t+\phi_0’)+Acos(\omega_dt+\phi)
\end{align}
$$

共振

• 位移共振：$\frac{dA}{d\omega_d}=0\Rightarrow\omega_{共振}=\sqrt{\omega_0^2-2\delta^2}$
• 速度共振：$\frac{dv_m}{d\omega_d}=0\Rightarrow\omega_{共振}=\omega_0$

电磁振荡

• $\omega^2=\frac{1}{LC}$

$$
\begin{align}
&-L\frac{di}{dt}=\frac{q}{C}\Leftrightarrow\frac{d^2q}{dt^2}=-\frac{q}{LC}=-\omega^2q\
&\Rightarrow q=Q_0cos(\omega t+\phi_0)
\end{align}
$$

• 能量$W=W_e+W_m=\frac{1}{2}\frac{1}{C}Q_0^2$

受迫振荡

• 电源电动势$\varepsilon=\varepsilon_0cos\omega_d t$

$$
\begin{align}
&L\frac{d^2q}{dt^2}+R\frac{dq}{dt}+\frac{q}{C}=q_0cos\omega_dt\
&\Rightarrow q=Q_0cos(\omega_dt+\phi)
\end{align}
$$

电共振

• $\frac{dI_0}{d\omega_d}=0\Rightarrow\omega_d=\sqrt\frac{1}{LC}$

一维谐振动合成

同频率

• $A=\sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1A_2cos(\phi_{02}-\phi_{01})}$
• $tan\phi_0=\frac{A_1sin\phi_{01}+A_2sin\phi_{02}}{A_1cos\phi_{01}+A_2cos\phi_{02}}$

$$
\begin{align}
x&=x_1+x_2=A_1cos(\omega t+\phi_{01})+A_2cos(\omega t+\phi_{02})\
&=Acos(\omega t+\phi_0)
\end{align}
$$

不同频率（拍）

• 近似条件：$A_1=A_2$，$|\omega_2-\omega_1|\ll\omega_1 or\omega_2$

$$
\begin{align}
x&=x_1+x_2=A_1cos(\omega_1 t+\phi_{01})+A_2cos(\omega_2 t+\phi_{02})\
&=2Acos(\frac{\omega_2-\omega_1}{2} t)cos(\frac{\omega_1+\omega_2}{2}t+\phi_0)
\end{align}
$$

旋转矢量图示法

弹簧振子：

一维同频谐振动合成：

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2022.10.6

Doxel